푸리에 변환이란 무엇일까? 시각적으로 이해하는 입문

⏱ 01:15두 음을 동시에 연주하면 각 순간의 기압 변화가 더해지므로, 마이크는 여러 주파수가 뒤섞인 최종 파형만 기록한다. 이를 분리하려면 신호를 원 둘레에 감고 감기 주파수에 따른 질량 중심의 변화를 살핀다. 신호 주파수와 감기 주파수가 일치하면 봉우리들이 같은 방향에 모여 질량 중심이 치우친다. 초당 3회 신호에서는 3에 봉우리가 나타나며, 0 근처의 봉우리는 신호를 위로 옮긴 데서 생긴다. 원래 신호, 원에 감긴 그래프, 질량 중심의 주파수 그래프를 구별하는 것이 시각적 이해의 출발점이다.

⏱ 09:36두 신호를 각각 변환해 더한 결과는 두 신호를 먼저 더해 변환한 결과와 같다. 이 선형성 때문에 초당 2회와 3회 신호를 합쳐도 각각의 주파수에 봉우리가 남는다. 소리 편집에서는 거슬리는 고음을 주파수 그래프의 봉우리로 찾아 제거하고, 역푸리에 변환으로 그 성분이 빠진 신호를 얻는다.

⏱ 15:41실제 푸리에 변환은 질량 중심을 구하는 평균에서 시간 구간으로 나누는 단계를 뺀 적분이다. 복소지수 e^(-2πift)는 시계 방향 회전을, g(t)를 곱하는 것은 길이가 변하는 벡터를 나타낸다. 같은 주파수의 신호가 오래 지속될수록 변환의 크기는 커진다. 변환은 주파수를 입력받아 복소수를 출력하며, 실수부와 허수부를 함께 보아야 더 완전하다. 이론에서는 적분 구간을 무한히 늘린 극한도 다룬다.

⏱ 00:04이 영상에서는 수학의 아주 중요한 아이디어인 푸리에 변환을 애니메이션으로 이해하는 방식을 차근차근 만들어 가겠습니다. 푸리에 변환이 생소한 분들에게는 이 주제를 소개하는 것이 가장 큰 목표입니다. 이미 익숙한 분들도 각각의 구성 요소가 실제로 어떤 모습인지 보면 재미와 새로운 이해를 얻을 수 있으리라 생각합니다. 시작 시점의 중심 예제는 음향에서 주파수를 분해하는 고전적인 사례입니다. 이후에는 이 개념이 음향과 주파수를 넘어 수학과 물리학의 많은 다양한 분야로 어떻게 확장되는지 보여주고자 합니다. 실제로 이 개념이 얼마나 널리 사용되는지는 정말 놀라울 정도입니다. 그럼 시작해 봅시다.

⏱ 00:50순음 A는 초당 440번의 진동, 즉 440헤르츠입니다. 헤드폰이나 스피커 옆의 공기 압력을 시간의 함수로 측정하면 평상시 평형 상태 주위로 위아래로 진동하면서 매초 440번 진동합니다. D 음과 같이 음높이가 낮은 음은 동일한 구조이지만 초당 진동 횟수가 더 적습니다. 두 음을 동시에 연주하면 기압 대 시간 그래프는 어떤 모습일까요? 어느 시점에서든 기압의 변화량은 각 음을 따로 연주했을 때의 변화량을 더한 것입니다. 솔직히 이것을 머릿속으로 그려 보는 일은 제법 복잡합니다.

⏱ 01:33어떤 순간에는 두 파형의 봉우리가 겹쳐서 기압이 아주 높아집니다. 다른 순간에는 서로 상쇄되는 경향이 있습니다. 전체적으로 보면 기압 대 시간 그래프는 파동처럼 생겼지만 순수한 사인파는 아닌, 더 복잡한 모양이 됩니다. 다른 음을 추가할수록 파형은 더욱 복잡해집니다. 하지만 지금은 고작 네 개의 순수한 주파수를 합쳐 놓은 것입니다. 들어간 정보가 이렇게 적다는 점을 생각하면 그래프가 필요 이상으로 복잡해 보입니다.

⏱ 02:03마이크로폰은 소리를 녹음할 때 여러 시점에서의 공기 압력을 포착하며 최종 합만 보게 됩니다. 따라서 핵심 질문은 이런 신호를 어떻게 그 신호를 이루는 순수한 주파수들로 분해할 수 있는가입니다. 꽤 흥미롭지 않나요? 신호들을 더하면 모두 뒤섞이므로 그것들을 다시 분리하는 일은 함께 저어 놓은 여러 색의 물감을 다시 분리하는 것과 비슷합니다. 우리가 쓸 일반적인 전략은 특정 주파수의 신호를 다른 신호들과 다르게 처리하는 수학적 기계를 만드는 것입니다.

⏱ 02:40먼저 그래프를 쉽게 그릴 수 있도록 초당 3번 진동하는 느린 순수 신호를 생각해 봅시다. 그래프 전체가 아니라 유한한 구간만 보겠습니다. 여기서는 0초부터 4.5초까지입니다. 핵심 아이디어는 이 그래프를 원 둘레에 감는 것입니다. 구체적으로는, 매 순간 길이가 그 시각의 그래프 높이와 같은 작은 회전 벡터를 상상하면 됩니다. 그래프의 높은 점은 원점에서 더 멀리 떨어진 곳에 대응하고, 낮은 점은 원점에 더 가까운 곳에 놓입니다.

⏱ 03:22현재는 시간이 2초 흐를 때 원 둘레를 한 바퀴 돌도록 그리고 있습니다. 감긴 그래프를 그리는 작은 벡터가 초당 반 바퀴씩 회전하는 셈입니다. 여기서 중요한 점은 서로 다른 두 주파수가 등장한다는 것입니다. 하나는 초당 세 번 위아래로 움직이는 신호 자체의 주파수입니다. 이와 별개로 그래프를 원에 감는 주파수가 있으며, 현재는 초당 반 바퀴입니다. 두 번째 주파수는 원하는 대로 조정할 수 있습니다. 더 빠르게 감을 수도, 더 느리게 감을 수도 있죠. 어떤 감기 주파수를 선택하느냐에 따라 감긴 그래프의 모양이 결정됩니다.

⏱ 04:09이 과정에서 나오는 일부 도형은 매우 복잡하면서도 아름답습니다. 그러나 여기서 하는 일은 신호를 원 둘레에 감는 것뿐이라는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 위쪽에 그리는 수직선들은 원을 한 바퀴 도는 데 해당하는 원래 그래프의 시간 간격을 표시하기 위한 것입니다. 따라서 선 사이의 간격이 1.5초라면 한 바퀴 회전하는 데 1.5초가 걸린다는 뜻입니다.

⏱ 04:37이쯤 되면 감기 주파수가 신호의 주파수인 초당 3회와 같아질 때 무언가 특별한 일이 일어나리라는 느낌이 들 수 있습니다. 그래프의 높은 점들은 모두 원의 오른쪽에, 낮은 점들은 모두 왼쪽에 놓입니다. 그런데 이 사실을 주파수를 분리하는 기계를 만드는 데 정확히 어떻게 이용할 수 있을까요? 이 그래프가 금속 철사처럼 질량을 가진다고 상상해 봅시다. 여기의 작은 점은 그 철사의 질량 중심을 나타냅니다.

⏱ 05:08주파수를 바꾸어 그래프가 다르게 감기면 질량 중심도 조금씩 흔들립니다. 대부분의 감기 주파수에서는 봉우리와 골짜기가 원 둘레에 분산되어 질량 중심이 원점 가까이에 머뭅니다. 하지만 감기 주파수가 신호 주파수와 같은 초당 3회가 되면, 모든 봉우리가 오른쪽에 놓이고 모든 골짜기가 왼쪽에 놓입니다. 그래서 질량 중심은 다른 때와 달리 오른쪽으로 멀리 치우칩니다.

⏱ 05:42이를 나타내기 위해 감기 주파수마다 질량 중심이 어디에 있는지 기록하는 그래프를 그려 봅시다. 질량 중심은 2차원에 있으므로 완전히 나타내려면 좌표가 두 개 필요하지만, 지금은 x좌표만 살펴보겠습니다. 주파수가 0이면 모든 점이 오른쪽에 모이므로 x좌표가 비교적 큽니다. 감기 주파수를 높여 그래프가 원 둘레에서 균형을 이루면 질량 중심의 x좌표는 0에 가까워지고 조금씩 흔들립니다. 그러다가 초당 3회에서 모든 것이 오른쪽으로 정렬되면서 그래프에 뾰족한 봉우리가 나타납니다.

⏱ 06:44이것이 핵심 구조입니다. 지금까지 만든 것을 정리하면, 원래의 시간에 따른 강도 그래프, 그것을 어떤 2차원 평면에 감아 놓은 그래프, 감기 주파수에 따라 그 그래프의 질량 중심이 어떻게 달라지는지 나타내는 그래프라는 세 가지가 있습니다. 그런데 새 주파수 그래프의 0 근처, 아주 낮은 주파수들을 다시 봅시다. 여기에 있는 커다란 봉우리는 코사인파 전체를 위로 옮겨 놓았다는 사실에 해당합니다. 음수로도 내려가면서 0을 중심으로 진동하는 신호를 골랐다면, 여러 감기 주파수를 적용해 얻는 질량 중심 그래프에는 3에서만 봉우리가 나타났을 것입니다.

⏱ 07:32하지만 음수는 특히 첫 예제에서 생각하기에 조금 낯설고 복잡하므로 계속 위로 옮긴 그래프를 사용하겠습니다. 0 근처의 봉우리는 그래프를 위로 옮긴 것에만 해당한다는 점을 이해하면 됩니다. 주파수 분해에서 우리가 주로 관심을 두는 것은 3에 있는 봉우리입니다. 이 전체 그래프를 원래 신호의 ‘거의 푸리에 변환’이라고 부르겠습니다. 실제 푸리에 변환과는 몇 가지 작은 차이가 있으며 잠시 뒤에 설명하겠습니다. 하지만 벌써 이 기계가 신호의 주파수를 어떻게 골라내는지 보일 것입니다.

⏱ 08:07조금 더 살펴보기 위해 이번에는 초당 2회라는 더 낮은 주파수를 가진 다른 순수 신호에 같은 작업을 해 봅시다. 이 신호를 원에 감고, 여러 감기 주파수를 적용하면서 감긴 그래프의 질량 중심이 어디에 있는지 추적합니다. 그런 다음 감기 주파수를 바꾸어 가며 그 질량 중심의 x좌표를 그립니다. 앞에서처럼 감기 주파수와 신호 주파수가 같을 때 봉우리가 생깁니다. 이번에는 그 값이 초당 2회입니다.

⏱ 08:39하지만 이 기계를 멋지게 만드는 진짜 핵심은 여러 주파수로 이루어진 신호에서 각각의 주파수를 알아낼 수 있다는 점입니다. 방금 살펴본 초당 3회의 파동과 초당 2회의 파동을 더해 봅시다. 앞서 말했듯 결과는 더 이상 깔끔한 순수 코사인파가 아니라 조금 더 복잡한 모양입니다. 이것을 감기 주파수 기계에 넣는다고 상상해 보세요. 원에 감으면 훨씬 더 복잡해 보입니다. 어지럽게 뒤엉키다가 초당 2회에서 갑자기 아주 잘 정렬됩니다. 계속 감기 주파수를 높이면 다시 한동안 어지럽게 보이다가 초당 3회에서 또 한 번 잘 정렬됩니다.

⏱ 09:23앞서 말했듯이 감긴 그래프는 부산하고 복잡해 보일 수 있지만, 하는 일은 그래프를 원에 감는다는 비교적 단순한 작업입니다. 원래 그래프가 더 복잡하고 감기 주파수가 꽤 빠를 뿐이죠. 서로 다른 두 봉우리가 생기는 이유는 다음과 같습니다. 두 신호에 각각 이 ‘거의 푸리에 변환’을 적용한 뒤 결과를 더하면, 신호를 먼저 더한 다음 이 변환을 적용한 것과 같은 결과가 나옵니다. 주의 깊게 보고 계신 분들은 잠시 멈추고 이 말이 정말 맞는지 생각해 보세요. 감기 기계 안에서 정확히 무엇을 측정하는지 분명히 이해했는지 확인하는 좋은 연습입니다.

⏱ 10:09이 성질 덕분에 변환이 아주 유용해집니다. 순수한 주파수 하나의 변환은 그 주파수 근처의 봉우리를 제외하면 거의 모든 곳에서 0에 가깝습니다. 따라서 두 순수 주파수를 더하면 변환 그래프에는 원래 들어 있던 주파수들 위에 작은 봉우리들이 생깁니다. 이 작은 수학적 기계는 정확히 우리가 원하던 일을 합니다. 뒤섞인 합으로부터 원래의 주파수들을 뽑아내는 것이죠. 한 통에 섞어 놓은 물감을 다시 분리해 내는 셈입니다.

⏱ 10:36이 연산을 완전히 설명하는 수학으로 넘어가기 전에 유용한 응용 사례인 소리 편집을 잠깐 보겠습니다. 녹음에 귀에 거슬리는 고음이 들어 있어 제거하고 싶다고 합시다. 처음의 신호는 시간에 따라 달라지는 강도의 함수로 주어집니다. 매 밀리초마다 스피커에 전달되는 전압이 달라지는 것이죠. 하지만 우리는 이것을 주파수로 생각하고 싶습니다. 신호에 푸리에 변환을 적용하면 그 거슬리는 고음이 어떤 높은 주파수의 뾰족한 봉우리로 나타납니다. 이 봉우리를 눌러 없애면 원래 녹음과 같으면서도 해당 고주파 성분만 빠진 소리의 푸리에 변환을 보게 됩니다.

⏱ 11:21다행히 역푸리에 변환이라는 개념이 있어서 어떤 신호를 변환해야 이런 결과가 나오는지 알려 줍니다. 역변환은 다음 영상에서 훨씬 자세히 다루겠습니다. 간단히 말하면 푸리에 변환을 한 결과에 푸리에 변환을 다시 적용하면 원래 함수에 가까운 무언가를 얻습니다. 어느 정도는 그렇습니다. 조금 부정확한 말이지만 진실에 가까운 방향의 이야기죠. 이렇게 말한 것이 부정확한 가장 큰 이유는 실제 푸리에 변환이 무엇인지 아직 설명하지 않았기 때문입니다. 실제 변환은 지금까지의 질량 중심 x좌표라는 아이디어보다 조금 더 복잡합니다.

⏱ 11:55감긴 그래프의 질량 중심으로 돌아가 보면 x좌표는 이야기의 절반에 불과합니다. 질량 중심은 2차원에 있으니 y좌표도 있죠. 수학에서 흔히 그렇듯, 이런 2차원 대상을 복소평면에서 생각하면 우아하게 다룰 수 있습니다. 그러면 질량 중심은 실수부와 허수부를 모두 가진 복소수가 됩니다. 단순히 좌표가 두 개 있다고 말하는 대신 복소수를 쓰는 이유는, 복소수가 감기와 회전에 관련된 현상을 아주 깔끔하게 표현해 주기 때문입니다.

⏱ 12:32예를 들어 잘 알려진 오일러 공식에 따르면, 어떤 수에 i를 곱해 e의 지수에 넣으면 반지름 1인 원의 오른쪽에서 출발해 반시계 방향으로 그 수만큼 걸었을 때의 점에 도달합니다. 초당 한 바퀴 회전하는 모습을 표현하고 싶다고 해 봅시다. 경과한 시간을 t라고 하면 e^(2πit)라는 식을 쓸 수 있습니다. 반지름이 1인 원에서 2π는 원 둘레 전체의 길이이기 때문입니다.

⏱ 13:08이렇게 빠르게 회전하는 모습을 보면 조금 어지러우니, 더 낮고 적당한 다른 주파수를 표현하고 싶을 수 있습니다. 그러려면 지수 안의 시간 t에 주파수 f를 곱하면 됩니다. 예를 들어 f가 1/10이면 이 벡터는 10초마다 한 바퀴를 돕니다. t가 10까지 증가해야 지수 전체가 2πi가 되기 때문입니다. 허수 입력에 대해 e^x가 왜 이런 식으로 작동하는지 궁금하다면 직관을 설명하는 제 다른 영상을 보셔도 좋습니다. 지금은 이 사실을 주어진 것으로 받아들이겠습니다.

⏱ 13:44이 이야기를 왜 하는지 궁금할 수 있습니다. 그래프를 원에 감는 아이디어를 하나의 간결한 수식으로 아주 깔끔하게 나타낼 수 있기 때문입니다. 우선 푸리에 변환에서는 시계 방향으로 회전하는 것을 관례로 삼으므로 지수에 마이너스 부호를 붙이겠습니다. 그러면 회전을 나타내는 식은 e^(-2πift)가 됩니다. 이제 앞에서 본 순수 코사인파처럼 시간에 따른 신호의 강도를 나타내는 함수를 하나 잡고, 이것을 g(t)라고 부르겠습니다.

⏱ 14:12이 지수식에 g(t)를 곱하면, 회전하는 복소수의 크기가 함수의 값에 따라 커졌다 작아졌다 합니다. 따라서 길이가 변하는 작은 회전 벡터가 감긴 그래프를 그린다고 생각할 수 있습니다. 한번 생각해 보세요. 정말 멋진 일입니다. g(t)e^(-2πift)라는 아주 작은 식 하나가, 바꿀 수 있는 주파수 f로 그래프를 원에 감는다는 아이디어 전체를 매우 우아하게 담아냅니다.

⏱ 14:43이 감긴 그래프에서 추적하려는 것은 질량 중심이라는 점을 기억해 봅시다. 어떤 수식으로 그것을 표현할 수 있을까요? 적어도 근삿값을 구하려면 원래 신호에서 여러 시점을 표본으로 뽑고, 그 점들이 감긴 그래프의 어디에 놓이는지 확인한 다음 평균을 내면 됩니다. 즉 그 점들을 복소수로 모두 더하고 표본으로 뽑은 점의 개수로 나눕니다. 서로 더 가까이 있는 점들을 더 많이 뽑을수록 이 근사는 더 정확해집니다.

⏱ 15:14극한에서는 많은 점을 더해 점의 개수로 나누는 대신, 이 함수를 적분하고 우리가 살펴보는 시간 구간의 길이로 나눕니다. 복소숫값을 갖는 함수를 적분한다는 아이디어가 낯설게 보일 수 있습니다. 미적분에 자신이 없다면 겁이 날 수도 있죠. 하지만 여기에 담긴 의미 자체는 미적분 지식이 전혀 필요하지 않습니다. 식 전체가 나타내는 것은 그저 원에 감긴 그래프의 질량 중심입니다.

⏱ 15:41이렇게 차근차근, 조금 복잡하지만 솔직히 놀랄 만큼 작은 식 하나로 앞서 이야기한 감기 기계 전체를 표현했습니다. 이제 이것과 진짜 푸리에 변환 사이에는 마지막 차이 하나만 남아 있습니다. 바로 시간 구간의 길이로 나누지 않는다는 것입니다. 푸리에 변환은 이 식의 적분 부분만을 취합니다. 다시 말해 질량 중심 자체를 보는 대신 그것을 어떤 배수로 확대합니다. 원래 그래프에서 사용한 구간이 3초라면 질량 중심에 3을 곱하고, 6초라면 6을 곱합니다.

⏱ 16:25물리적으로 이것은 특정 주파수가 오랫동안 지속되면 그 주파수에서의 푸리에 변환 크기가 점점 더 커진다는 효과를 냅니다. 예를 들어 지금 보는 것은 초당 2회인 순수한 주파수의 신호를 초당 두 바퀴의 속도로 감는 경우입니다. 똑같은 모양을 되풀이해서 그릴 뿐이므로 질량 중심은 같은 곳에 머뭅니다. 하지만 그 신호가 오래 지속될수록 해당 주파수에서 푸리에 변환의 값은 더 커집니다.

⏱ 16:56다른 주파수에서는, 감기 주파수를 일치하는 값보다 아주 조금만 높여도 이런 증가 효과가 상쇄됩니다. 시간 구간이 길어질수록 감긴 그래프가 원 둘레에서 균형을 이룰 기회도 더 많아지기 때문입니다. 서로 맞물려 움직이는 요소가 아주 많으니, 한 걸음 물러나 지금까지의 내용을 정리해 봅시다. g(t)처럼 시간에 따른 강도를 나타내는 함수의 푸리에 변환은 새로운 함수입니다. 이 함수는 시간을 입력받는 대신, 지금까지 감기 주파수라고 부른 주파수를 입력받습니다.

⏱ 17:28표기법으로는 이 새 함수를 g 위에 작은 모자 기호를 붙인 ĝ라고 부르는 것이 일반적인 관례입니다. 이 함수의 출력은 복소수, 즉 2차원 평면 위의 한 점입니다. 이 점은 원래 신호에서 특정 주파수가 얼마나 강한지에 대응합니다. 지금까지 제가 푸리에 변환이라고 그려 온 그래프는 출력의 실수부, 곧 x좌표만 나타낸 것입니다. 더 완전하게 표현하고 싶다면 허수부도 따로 그래프로 그릴 수 있습니다.

⏱ 17:57이 모든 것이 우리가 만들어 낸 수식 안에 들어 있습니다. 맥락 없이 이 수식만 본다면 다소 겁이 날 만합니다. 하지만 지수함수가 어떻게 회전에 대응하는지, 거기에 g(t)를 곱하는 것이 어떻게 원에 감긴 그래프를 그리는 일을 뜻하는지, 복소숫값 함수의 적분을 어떻게 질량 중심이라는 아이디어로 해석할 수 있는지를 이해하면, 이 전체 수식에 얼마나 풍부한 직관적 의미가 담겨 있는지 알 수 있습니다.

⏱ 18:27마무리하기 전에 한 가지를 짧게 덧붙이겠습니다. 소리 편집 같은 실제 작업에서는 유한한 시간 구간에 걸쳐 적분하지만, 푸리에 변환 이론에서는 흔히 적분 구간의 양 끝을 음의 무한대와 양의 무한대로 둡니다. 구체적으로는 가능한 모든 유한한 시간 구간에서 이 식을 생각한 다음, 그 시간 구간을 무한히 늘려 갈 때 극한이 무엇인지 묻는 것입니다.

⏱ 18:54정말이지 더 할 이야기가 너무나 많습니다. 여기서 끝났다고 하고 싶지 않을 만큼 많습니다. 이 변환은 신호에서 주파수를 추출한다는 아이디어를 훨씬 넘어 수학의 여러 영역으로 확장됩니다. 그래서 다음 영상에서는 그런 사례 몇 가지를 살펴보겠습니다. 바로 거기서부터 이야기가 정말 흥미로워집니다. 새 영상이 나올 때를 위해 구독을 유지해 주세요. 아니면 3Blue1Brown 영상을 몇 편 몰아보는 방법도 있습니다. 그러면 유튜브 추천 시스템이 새로 나온 영상을 여러분께 더 잘 보여 줄 수 있겠죠. 선택은 여러분 몫입니다. 감사합니다.